↓Skip to main content

[Game Math] Chapter 3. 벡터: 가상 공간의 탄생

Table of Contents

이득우의 게임 수학 책을 읽고 공부한 노트입니다.



데카르트 좌표계 #

  • 데카르트 좌표계(Cartesian coordinate system)
    • Chapter 2에서 보았던 것처럼, 직선으로 된 수 집합을 수직으로 배치해서 평면을 표기하는 방식이다.
    • 데카르트 좌표계의 한 원소는 곱집합과 동일하게 $(x, y)$처럼 순서쌍으로 표현하며 좌표(Coordinate)라고 부른다.



벡터 공간과 벡터 #

스칼라와 벡터 #

  • 벡터 공간(Vector space)
    • 두 개 이상의 실수를 곱집합으로 묶어서 형성된 집합을 공리적 집합론의 관점에서 규정한 것이다.
  • 벡터(Vector)
    • 벡터 공간의 원소이다.
      $\vec{v} = (x, y)$
  • 스칼라(Scalar)
    • 체 구조를 가지는 수 집합의 원소이다.
      $x$, $y$

벡터 공간의 연산 #

  • 벡터 공간의 두 가지 기본 연산
    • 선형성이 있어서 선형 연산이라고 한다.
    • (1) 벡터와 벡터의 덧셈 (벡터의 합)
    • (2) 스칼라와 벡터의 곱셈 (스칼라배)

  • 벡터 공간의 8가지 공리
분류 공리 수식
벡터의 합 닫혀 있다 $\vec{v}$, $\vec{w}$가 벡터 공간 $V$에 존재하면 $\vec{v} + \vec{w}$도 $V$에 존재한다.
결합법칙 $\vec{u} + (\vec{v} + \vec{w}) = (\vec{u} + \vec{v}) + \vec{w}$
교환법칙 $\vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u}$
항등원 $\vec{v} + \vec{0} = \vec{v}$
역원 $\vec{v} + (-\vec{v}) = \vec{0}$
스칼라배 닫혀 있다 $\vec{v}$가 벡터 공간 $V$에 존재하면 $a\vec{v}$도 $V$에 존재한다.
결합법칙 $a(b\vec{v}) = (ab)\vec{v}$
항등원 $\vec{v} \cdot 1 = \vec{v}$
스칼라의 분배법칙 $a(\vec{u} + \vec{v}) = a\vec{u} + a\vec{v}$
벡터의 분배법칙 $(a + b)\vec{v} = a\vec{v} + b\vec{v}$

벡터의 크기와 이동 #

  • 벡터의 크기
    • 피타고라스 정리를 사용해서 측정할 수 있다.
      $|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}$
  • 단위 벡터(Unit Vector)
    • 크기가 1인 벡터이다.
    • 모자를 씌워 표현한다.
      $\hat{v}$
  • 정규화(Normalize)
    • 임의의 벡터를 크기가 1인 단위 벡터로 만드는 작업이다.
      $\hat{v} = \frac{\vec{v}}{||\vec{v}||}$

벡터의 결합과 생성 #

  • 선형 결합(Linear combination)
    • 벡터의 합과 스칼라배는 선형성이 있어서 선형 연산이라고도 한다.
    • 이런 선형연산을 사용해서 $n$개의 스칼라 $a_1, …, a_n$과 $n$개의 벡터 $\vec{v_1}, …, \vec{v_n}$을 결합해 새로운 벡터 $\vec{v’}$를 생성하는 수식을 선형 결합이라고 한다.
      $a_1\vec{v_1} + a_2\vec{v_2} + … + a_n\vec{v_n} = \vec{v_n}$

  • 선형 종속과 선형 독립
명칭 설명
선형 종속 선형 결합에서 모든 $a$가 $0$이 아님에도 영벡터를 만들 수 있는 것이다.
$2 \cdot (1, 1) + (-1) \cdot (2, 2) = (0, 0)$
선형 독립 선형 결합에서 모든 $a$가 $0$이어야만 영벡터를 만들 수 있는 것이다.
$0 \cdot (1, 2) + 0 \cdot (2, 1) = (0, 0)$
  • 평면의 모든 점을 생성하기 위한 선형 결합식을 만드려면…
    • 서로 평행하지 않은 2개의 벡터가 필요하다.
    • 벡터 2개가 서로 평행하면?
      • $a$가 무엇이 되었든, 평행하지 않은 새로운 벡터를 선형 결합으로 만들 수가 없다.
    • 벡터가 3개이면?
      • 1개의 벡터가 $c(x, y)$일 때, 2개의 벡터가 $-c(x, y)$를 만들 수 있으므로 $-c(x, y) + c(x, y) = (0, 0)$이 되어버린다.
    • 즉, 선형 독립의 관계인 2개의 벡터가 필요하다.

  • 기저(Basis)
    • 벡터 공간 내 모든 벡터를 생성할 수 있는, 선형 독립 관계를 가지는 벡터의 집합이다.
  • 기저벡터(Basis vector)
    • 기저에 속한 원소이다.
  • 차원(Dimension)
    • 평면에서 선형 독립 관계를 유지하려면 2개의 벡터만 사용되어야 하므로 기저 집합의 원소 수는 언제나 2개 뿐이다.
    • 따라서 평면에 대응하는 벡터 공간을 2차원이라고 정의할 수 있게 된다.
  • 표준기저(Standard basis)
    • 한 축만 사용하는 단위벡터 $(0, 1), (1, 0)$ 로 구성된 집합이다.
  • 표준기저벡터(Standard basis vector)
    • 표준기저에 속한 원소이다.
    • 2차원 실벡터 공간 $\mathbb{R}^2$에서의 표준기저벡터
      $e_1 = (1, 0)$
      $e_2 = (0, 1)$
    • 3차원 실벡터 공간 $\mathbb{R}^3$에서의 표준기저벡터
      $e_1 = (1, 0, 0)$
      $e_2 = (0, 1, 0)$
      $e_3 = (0, 0, 1)$



↑