[Game Math] Chapter 2. 수: 가상 세계를 구성하는 가장 작은 단위
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이득우의 게임 수학 책을 읽고 공부한 노트입니다.
수와 집합 #
수의 체계 #
| 기호 | 분류 | 정의 |
|---|---|---|
| $\mathbb{N}$ | 자연수 | $1, 2, …$ |
| $\mathbb{Z}$ | 정수 | $…, -2, -1, 0, 1, 2, …$ |
| $\mathbb{Q}$ | 유리수 | 분모가 0이 아닌 두 정수의 비율이나 분수로 나타낼 수 있는 수의 집합 |
| $\mathbb{I}$ | 무리수 | 두 정수의 비율이나 분수로 나타낼 수 없는 수의 집합 |
| $\mathbb{R}$ | 실수 | 유리수와 무리수를 포함하는 수의 집합 |
| $\mathbb{C}$ | 복소수 | $a + bi$ ($a$, $b$는 실수, $i$는 허수) 형태로 표현하는 수의 집합 |
| $\mathbb{H}$ | 사원수 | $a + bi + cj + dk$ ($a$, $b$, $c$, $d$는 실수, $i, j, k$는 허수) 형태로 표현하는 수의 집합 |
이항연산의 특징 #
| 성질 | 정의 |
|---|---|
| 닫혀 있다 (Closure) |
같은 집합에 속한 두 수를 투입한 이항연산의 결과가 항상 그 집합에 속하는 성질 |
| 교환법칙 (Commutative law) |
$a + b = b + a$ $a \cdot b = b \cdot a$ |
| 결합볍칙 (Associative law) |
$(a + b) + c = a + (b + c)$ $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$ |
| 분배법칙 (Distributive law) |
$a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$ $(b + c) \cdot a = b \cdot a + c \cdot a$ |
| 항등원 (Identity) |
어떤 수와의 연산 결과를 늘 그 어떤 수로 만들어주는 수이다. 덧셈의 항등원: $a + 0 = a$ 곱셈의 항등원: $a \cdot 1 = a$ |
| 역원 (Inverse) |
어떤 수와의 연산 결과를 늘 그 어떤 수의 항등원으로 만들어주는 수이다. 덧셈의 역원: $a + (-a) = 0$ (반대수: Opposite number) 곱셈의 역원: $a \cdot \frac{1}{a} = 1$ (역수: Reciprocal) |
체의 구조 #
- 공리(Axiom)
- 명제 중에서 증명할 필요가 없는 기본 명제
- 체(Field)의 구조
- 공리적 집합론에서 두 연산에 대해 다음과 같은 공리를 모두 만족하는 수 집합은 체의 구조를 지닌다고 표현한다.
- 체는 사칙연산이 자유로이 시행될 수 있는 수의 구조이다.
- 덧셈 연산에 대해
- (1) 닫혀있다.
- (2) 덧셈 항등원($0$)이 존재한다.
- (3) 모든 성분에 대해 덧셈 역원($-a$)이 존재한다.
- (4) 모든 성분에 대해 결합볍칙이 성립한다.
- (5) 모든 성분에 대해 교환법칙이 성립한다.
- 곱셈 연산에 대해
- (6) 닫혀있다.
- (7) 곱셈 항등원($1$)이 존재한다.
- (8) $0$ 이외의 모든 성분에 대해 곱셈 역원($\frac{1}{a}$)이 존재한다.
- (9) $0$ 이외의 모든 성분에 대해 결합법칙이 성립한다.
- (10) $0$ 이외의 모든 성분에 대해 교환법칙이 성립한다.
- 덧셈과 곱셈 연산에 대해
- (11) 덧셈에 대한 곱셈 연산의 분배법칙이 성립한다.
- 뺄셈과 나눗셈의 경우에는…
- 뺄셈 대신 덧셈의 역원을 사용하고: $a + (-b) = (-b) + a$
- 나눗셈 대신 곱셈의 역원을 사용하면 된다: $a \cdot \frac{1}{b} = \frac{1}{b} \cdot a$
- 체의 구조를 만족하는 수집합은 유리수, 실수가 있다.
- 이 중에서 완벽한 연속성을 가지는 실수를 가지고 수직선 상에서 수를 표현할 수 있겠다.
- 방향은 부호를 사용해 나타내고
- 크기는 절대값(원점으로부터의 거리)을 사용해 나타낸다.
함수 #
$f: X \rightarrow Y$
- 함수의 조건
- (1) 첫 번째 집합의 모든 원소에 대한 대응 관계가 존재해야한다.
- (2) 첫 번째 집합의 원소는 두 번째 집합의 한 원소에만 대응되어야 한다.
- 함수 용어
| 용어 | 설명 |
|---|---|
| 정의역(Domain) | 함수에서 왼쪽에 위치한 첫 번째 집합. ($X$) |
| 공역(Codomain) | 함수에서 오른쪽에 위치한 두 번째 집합. ($Y$) |
| 치역(Range) | 정의역에 대응되는 공역의 원소만 따로 모은 부분집합. |
함수 종류 #
| 종류 | 설명 |
|---|---|
| 전사함수(Surjection) | 공역의 모든 요소가 정의역에 대응되는 함수. |
| 단사함수(Injection) | 정의역과 공역의 요소가 1대1로 대응되는 함수. |
| 전단사함수(Bijection) | 정의역과 공역의 모든 요소가 빠짐없이 1대1로 대응되는 함수. |
함수의 합성 #
$f: X \rightarrow Y$
$g: Y \rightarrow Z$
$g \circ f$ 혹은 $g(f(x))$로 표시한다.
- 함수의 합성(Function composition)
- 2개의 함수를 연쇄적으로 이어서 하나의 함수로 만드는 연산이다.
- 먼저 실행되는 함수 $f$ 가 기호 $\circ$ 의 오른쪽에 놓인다는 점에 유의하자.
- 합성 함수는 결합법칙이 성립한다.
항등함수 #
$id \circ f = f$
$ f \circ id = f$
- 항등함수(Identity function)
- 정의역과 공역이 동일한 값으로 대응되는 함수이며, $id$ 로 나타낸다.
- 어느 위치에 있던 동일한 대응 관계를 나타낸다.
역함수 #
$f^{-1} \circ f = id$
$f \circ f^{-1} = id$
- 역함수(Inverse function)
- 역함수와의 합성 함수의 대응 결과는 항등함수가 된다. $f^{-1}$ 로 나타낸다.
- 공역 $Y$ 에서 정의역 $X$로 대응되는 함수로도 생각할 수 있다.
- 모든 함수가 역함수를 갖지는 않는다.
- 역함수를 가지려면 반드시 전단사함수의 형태가 되어야 한다.
- $(g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}$ 와 같은 성질을 가진다.
곱집합 #
$A \times B$
- 곱집합(Catesian product)
- 두 집합의 원소를 순서쌍으로 묶은 원소의 집합이다.
- 곱집합의 요소는 $(a, b)$처럼 순서쌍으로 묶어서 표현한다.
- 서로 수직으로 배치하는 곱집합의 성질을 응용하면, 하나의 직선으로 표현한 실수 집합을 확장해서 두 실수 집합의 곱집합을 평면으로 나타낼 수 있다.